M1030 Matematika pro biology

Obsah předmětu

• Úvod
  1. Historické poznámky
     • Vznik matematiky a některé významné mezníky jejího vývoje
     • Matematika a biologie
  2. Příklady jednoduchých aplikací (realizace prvních dvou v tabulkovém procesoru: formát *.ods nebo *.xlsx)
     • Množení Fibonacciových králíků
     • Růst populace (Eulerův model)
     • Lindenmayerovy systémy

Diskrétní matematika

1. Kombinatorika
   (realizace některých výpočtů v tabulkovém procesoru: formát *.ods nebo *.xlsx)
   1. Počet možných výběrů z daného souboru
      • Výběry bez opakování (vracení)
      • Výběry s opakováním (vracením)
   2. Princip inkluze a exkluze
   3. Přihrádkový princip
   4. Aplikace
      • Počet prokaryotických chromozomů z n genů
      • Počet fylogenetických stromů z n taxonů
2. Počet pravděpodobnosti
   (realizace některých výpočtů v tabulkovém procesoru: formát *.ods nebo *.xlsx)
   1. Základní pojmy
      • Náhodný pokus
      • Prostor možných výsledků náhodného pokusu
      • Strom průběhu pokusu
      • Náhodný jev
   2. Definice pravděpodobnosti náhodného jevu
      • Empirická pravděpodobnost
      • Klasická (kombinatorická) pravděpodobnost
      • Zobecněná klasická pravděpodobnost
      • Geometrická pravděpodobnost
      • Obecná definice pravděpodobnosti
      • Vlastnosti pravděpodobnosti
   3. Závislost a nezávislost jevů
      • Deterministická závislost a nezávislost (náhodných) jevů
      • Stochastická nezávislost náhodných jevů
      • Empirické vyšetřování závislosti
   4. Podmíněná pravděpodobnost
      • Definice a vlastnosti podmíněné pravděpodobnosti
      • Inverzní pravděpodobnost a induktivní úsudek
      • Celková pravděpodobnost
      • Bayesův vzorec
   5. Princip maximální věrohodnosti
   6. Aplikace
      • Lincolnova-Petersonova metoda odhadu počtu jedinců volně žijící populace
      • Diagnostické testy
      • Populační genetika
        • Populace bez selekce (Hardyho-Weinbergův zákon)
        • Populace pod selekčním tlakem (Fisherova-Haldaneova-Wrightova rovnice)
      • Růst populace
3. Lineární algebra
   (realizace některých výpočtů v tabulkovém procesoru: formát *.ods nebo *.xlsx)
        Motivační úloha – růst populace strukturované podle dospělosti (na juvenilní a adultní jedince); model v tabulkovém procesoru Libre Office nebo MS Excel
   1. Matice a vektory
      • Definice a typy matic
      • Operace s maticemi
        • Unární
        • Binární aritmetické
   2. Řešení soustav lineárních rovnic – Gaussova eliminace
      • Metoda
      • Řešitelnost soustavy lineárních rovnic – Kroneckerova-Capelliho věta
   3. Determinanty
   4. Řešení soustav lineárních rovnic – Cramerovo pravidlo
   5. Regulární matice, inverzní matice
   6. Aplikace
      • Maticové populační modely

Spojitá matematika

4. Reálné funkce jedné reálné proměnné
   1. Úvodní pojmy
      • Reálná čísla
      • Pojem funkce
        • Definiční obor, obor hodnot
        • Zadávání funkce
      • Jednoduché vlastnosti funkcí
        • Ohraničenost
        • Periodicita
        • Parita – sudost/lichost
        • Monotonnost – globální (na intervalu), lokální (v bodě)
      • Operace s funkcemi
        • Aritmtické
        • Skládání funkcí a inverzní funkce
   2. Elementární funkce
      • Polynomy
      • Lomenné funkce
      • Exponenciální a logaritmické funkce
      • Obecná mocnina
      • Goniometrické a cyklometrické funkce
   3. Další funkce
      • Absolutní hodnota
      • Signum (znaménko)
      • Celá část
5. Posloupnosti
   1. Pojem posloupnosti
   2. Příklady posloupností
      (ukázky v tabulkovém procesoru: formát *.ods nebo *.xlsx)
      • Aritmetická
      • Geometrická
      • Fibonacciova
      • logistická
   3. Diference posloupnosti a její význam
   4. Limita posloupnosti
      • Definice limity
      • Vlastnosti limity
      • Výpočet limit
   5. Nevlastní limity posloupnosti
      • Definice a vlastnosti
      • Výpočet nevlastních limit, neurčité výrazy
   6. Aplikace
      • Růst homogenní populace
        (realizace v tabulkovém procesoru: formát *.ods nebo *.xlsx)
6. Spojitost a limita funkce
   1. Spojitost funkce
      • Spojitost v bodě (lokální)
      • Spojitost na intervalu (globální)
      • Vlastnosti funkcí spojitých na uzavřeném intervalu
   2. Limita funkce
      • Představa a pojem (vlastní) limity ve (vlastním) bodě
      • Nevlastní limity a limity v nevlastních bodech
      • Výpočet limit
7. Úvod do diferenciálního počtu
   1. Derivace
      • Derivace v bodě
      • Operace s derivacemi
      • Derivace chápaná jako funkce, derivace vyšších řádů
      • Výpočet derivací
   2. Diferenciál
   3. Užití derivací
      • Konstrukce (výpočet) tečen
      • Aproximace funkcí
      • Taylorův polynom
      • Limity neurčitých výrazů
      • Průběh funkce
8. Úvod do integrálního počtu
   1. Základní úloha integrálního počtu
   2. Neurčitý integrál
      • Primitivní funkce a její vlastnosti
      • Integrační metody
        • "Tabulkové integrály"
        • Substituční metoda
        • Integrace per partes
   3. Určitý integrál a jeho vlastnosti
   4. Užití určitého integrálu
      • Obsah obrazce
      • Délka křivky
      • Objem tělesa (exhaustivní metoda
   5. Nevlastní integrál
      • Integrál na neomezeném intervalu
      • Integrál z neomezené funkce

9.10.2020
	Úvod.
16.10.2020
	Shrnutí obsahu. Kombinatorika.
23.10.2020
	Kombinatorika – příklady. Pravděpodobnost II.1-2.
30.10.2020
	Pravděpodobnost II.3-6.
6.11.2020
	Pravděpodobnost – příklady.	Lineární algebra III.1-2.
13.11.2020
	Lineární algebra III.3-6.
20.11.2020
	Úvod do analýzy – reálné funkce.
27.11.2020
	Reálné funkce IV.1-3.
4.12.2020
	Limita posloupnosti V.1-5. Spojitost funkce, VI.1.
11.12.2020
	Limita funkce V.2.		Aplikace posloupností IV.6.
18.12.2020
	Diferenciální počet.
8.1.2021
	Diferenciální počet: průběh funkce. Neurčitý integrál VIII.1-2.
15.1.2021
	Určitý integrál a jeho užití.